Sayı

Sayı , birçokluğu belirtmek için kullanılan soyut birimdir. Fakat modern matematikte artık büyüklük belirtmediği halde geleneksel sayıların çeşitli özelliklerine benzer özellikler taşıyan nesnelere de sayı denmesi adettendir.Sayıları yazılı olarak göstermek için rakamlar kullanılmaktadır.

Sayı tipleri

Sayılar sayı sistemi adı verilen setlere sınıflandırılabilir:

Sayma sayıları

Ana madde: Sayma sayıları

Sayma sayılarını boştan farklı bir kümenin elemanlarını azlık veya çokluk yönünden nitelemekten ziyade onların içindeki eleman miktarına göre verilen bir temsilciler kümesi olarak tanımlanır.Temsilcilere verilen isim kanonik temsilci denir.Her sayma sayısı aynı zamanda bir kanonik temsilcidir.Sayma sayılarına sıfırın dahil olmamasının sebebi boş kümenin içinde temsil edcek bir elemanın olmamasıdır.

$\mathbb{N}^+ = \left\{ 1, 2, 3, ... \right\}$

Doğal sayılar

Ana madde: Doğal sayılar

Doğal sayılar 0'dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}$ ile gösterilir. Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir.doğal sayılar kümesi "0" ve pozitif tüm sayıların olduğu kümedir.

$\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... \}$

Tam sayılar

Ana madde: Tam sayılar

Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani "0"ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ ile gösterilir.

$\mathbb Z = \{..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}$

Pozitif tam sayılar

Başında "+" işareti bulunan veya bir şey bulunmayan tam sayılar pozitif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde (sayı doğrusunda) 0'ın sağ yanında yer alırlar. Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb Z^{+}$ ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlıdır:

$\mathbb Z^{+} = \{ +1, +2, +3, +4, +5... \}$

Negatif tam sayılar

Başında "-" işareti olan tam sayılar negatif tam sayılar adını alırlar. Sayı ekseninde 0'ın sol yanında yer alırlar. Negatif tam sayılar kümesi $\mathbb Z^{-}$ ile gösterilir. Cebirde çıkarma işlemi bu sayıların diğer tam sayılarla toplanması olarak ifade edilir.

$\mathbb Z^{-} = \{ ..., -3, -2, -1 \}$

Sıfır

Sıfır (0) negatif veya pozitif bir tam sayı değildir.Bir uzlaşma noktasıdır. Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz. Ancak tam sayılar aşağıdaki gibi de tanımlanabilir:

$\mathbb Z = \mathbb Z^{-} \cap \{ 0 \} \cap \mathbb Z^{+}$

Sıfırın doğal sayı kabul edilmediği (akademik) çevreler azımsanmayacak kadar fazladır. Sıfırı dahil etmeyen çevreler doğal sayılar kümesini $\mathbb{N}_{(0)}$ sembolü ile gösterirler, sıfırı dahil eden çevrelerse sıfırın dahil olmadığı sayma sayıları kümesini $\N^+$ ile gösterirler.

Oranlı sayılar

Ana madde: Oranlı sayılar

Oranlı sayılar veya rasyonel sayılar: Tam sayılar kullanılarak oluşturulan oranlara denk gelen büyüklüklere oranlı sayılar denir. Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir. Tamsayılar üzerindeki bölme işleminin bir genişlemesidir.

Oransız sayılar

Ana madde: Oransız sayılar

Oransız sayılar veya İrrasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Q' kümesi ile gösterilirler. Bu kümenin en bilinen üyesi pi sayısıdır.Hiç bir oranlı sayı oransız sayılar kümesine dahil değildir. Aynı şekilde hiçbir oransız sayı da oranlı sayılar kümesine dahil değildir.

Örnek

• $\pi \!$, $e \!$
• $\sqrt{2}$

Gerçel sayılar

Ana madde: Gerçel sayılar

Oransız sayılar kümesi ile oranlı sayılar kümesinin birleşimi gerçek sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçel sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklüklerin rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak $x^2 = 2$ gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna olur ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalışır ve doğada gerçek sayıların yeri olmadığını söylemeye devam eder.

Gerçek sayılar, katsayıları tamsayılar ya da rasyonel sayılar olan polinomlar kümesinin çözümlerini göstermek için kullanılırlar. Bu bakımdan gerçek sayılar kümesi, tamsayı katsayılı polinomlar kümesi $\mathbb Z[x]$in bir cisim genişlemesidir.

Gerçek sayılar kümesi $\R$ harfi ile ifade edilir.

Karmaşık sayılar

Ana madde: Karmaşık sayılar

Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için reel sayılar tekrar genişletilirse karmaşık sayılar veya kompleks sayılar kümesi elde edilir. Karmaşık sayıların sembolü $\mathbb{C}$dir. Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metodlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir. Gerçek olmayan sayılar fikri reel sayılar kümesinde karşılığı olmayan -1 sayısının karekökünden gelmektedir. Bu sayı "i" sembolü ile gösterilir ve karesi -1 olarak kabul edilir.

Diğer Tip Sayılar

Bu sayılara ek olarak matematikte, kümeler teorisinin uğraş alanında olan ordinal sayılar ve kardinal sayılar da sayı kavramının genişletilmesiyle elde edilmişlerdir. Bütünleme tekniğinin değişik bir uygulanmasıyla elde edilen p-sel sayılar ve reel sayılara sonsuz küçükler ve büyüklerin eklenmesiyle elde edilen sürreel sayılar da sayı kavramının parçaları olarak düşünülürler.